O FAZER MATEMÁTICO

UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA

III Seminário Nacional de História da Matemática, Vitória, ES, 28-31 de março de 1999

"l’histoire des sciences est avant tout l’histoire de leurs sprit philosophique, de la représentation que les hommes se sont faits à chaque instant de l’univers, quand ils essayent de la préciser et de la légitimer, d’apporter leurs preuves et leurs raisons aussi loin qu’ils le peuvent".

Abel Rey, 1935

MATEMÁTICA E CRIATIVIDADE

O essencial neste trabalho se refere à natureza do conhecimento matemático. Como, se é que, o conhecimento matemático difere de outras formas de conhecimento? O que é o conhecimento matemático? Como se insere no ciclo evolutivo da espécie? O que tem de universal o conhecimento matemático que se originou na Antigüidade Grega?

Essas são questões que podem ser sintetizadas numa questão que domina a filosofia da matemática:

A MATEMÁTICA É CRIAÇÃO OU DESCOBERTA?

O tema é muito complexo e tem muito a ver com as relações da matemática com outras formas de conhecimento: matemática e sociedade, matemática e arte, matemática e literatura [1], matemática e religião, matemática e técnicas, matemática e produção, e não terminaríamos essa lista. Cada uma dessas constitui, em si, uma linha de pesquisa.

Ao dicotomizar a natureza do fazer matemática cria-se um espaço falsificador, que proporciona discussões estéreis, enganosas e até agressivas. Essa é, no meu entender, uma pergunta falsa.

O fazer matemático é, sem dúvida, intrigante. Gosto de mencionar um projeto que, levado a termo, ajudaria na elucidaria as peculiaridades do fazer matemático. Trata-se do projeto "How mathematicians work?", que foi conduzido há cerca de dez anos, pelo IMA: Institute of Mathematics and its Applications, da Inglaterra. Baseando-se nesse projeto, proponho as seguintes questões:

Essas dez perguntas constituem, em si, um importante projeto de pesquisa, que pode ser conduzido em diversos ambientes e tratando das disciplinas mais diversas.

Uma das melhores reflexões que conheço sobre o que é criatividade matemática está na entrevista que Ennio De Giorgi, um dos grandes matemáticos do século, concedeu a Michelle Emmer poucos meses antes de sua morte, em 1996. Nessa entrevista De Giorgi diz "Eu penso que a origem da criatividade em todos os campos é aquilo que eu chamo a capacidade ou disposição de sonhar: imaginar mundos diferentes, coisas diferentes, e procurar combina-los de várias maneiras. A essa habilidade -– muito semelhante em todas as disciplinas –- você deve acrescentar a habilidade de comunicar esses sonhos sem ambigüidade, o que requer conhecimento da linguagem e das regras internas a cada disciplina." [2]

A MATEMÁTICA E O OCIDENTE

Ao abordar o conhecimento matemático, tomando como referência a matemática acadêmica, ficam privilegiados uma determinada região e um momento na evolução da humanidade. De fato, quando nos referimos à matemática estamos identificando o conhecimento que se originou nas regiões banhadas pelo Mar Mediterrâneo. Mesmo reconhecendo que outras culturas tiveram influência na evolução dessa forma de conhecimento, sua organização intelectual e social é devida aos povos dessas regiões. Por razões várias, ainda pouco explicadas, a civilização ocidental, que resultou dessas culturas,

veio a se impor a todo o planeta. Com ela, a matemática, cuja origem se traça às civilizações mediterrâneas, particularmente à Grécia antiga, também se impôs a todo o mundo.

Ao atentar nos modos como o processo de evolução da humanidade é descrito, analisado, interpretado e usado nas várias maneiras de se organizar o conhecimento histórico, surgem algumas questões que discutirei a seguir. Mesmo adotando uma postura holística, vou dar maior atenção à história do conhecimento científico, em particular matemático.

A ciência moderna nasceu enquanto o chamado Velho Mundo

se deslumbrava com a nova realidade que representou o Novo Mundo e a partir de então sua evolução se fez com a necessária participação de todos. Ao reconhecermos uma contribuição mais intensa de cientistas do Velho Mundo na construção da sociedade moderna, é importante lembrar que o cenário natural, cultural e social do Novo Mundo foi fundamental para o imaginário que serviu de base para essa mesma construção e que, até os dias de hoje, a natureza e a cultura exuberantes do hemisfério conquistado ainda ativam esse imaginário.

A presença das Américas na elaboração do pensamento científico e cultural da Europa cresce em importância desde o primeiro século do encontro até os dias de hoje. Um notável esforços de conciliação faz com que episódios que não podem ser classificados de outra maneira que genocídio humano e cultural, perpetrados nos anos difíceis da época colonial e durante a independência crioula, cedam hoje lugar à busca de novos rumos para a humanidade, com a finalidade maior de sobrevivência do planeta e da civilização.

No que se refere ao Novo Mundo, particularmente à América Latina, cabe aos historiadores das ciências a recuperação de conhecimentos, valores e atitudes, muitas vezes relegados a plano inferior, ignorados e às vezes até reprimidos e eliminados, que poderão ser decisivos na busca desses novos rumos. Cabe reconhecer que somos uma cultura triangular, resultado das tradições européias, africanas e ameríndias, e que isso tem um impacto permanente em nosso quotidiano latino-americano.

A MATEMÁTICA E A PERIFERIA

Devemos reconhecer que as nações periféricas são não mais que afluentes do curso principal do atual do desenvolvimento científico e tecnológico das nações centrais [3].

Vamos refletir sobre o que se entende por matemática e qual o objeto de seu estudo. Isto é, fazer uma reflexão sobre a Filosofia da Matemática. E não se pode negar que a História da Matemática está atrelada à Filosofia da Matemática.

Uma vez identificados os objetos do estudo, a relação de fatos, datas e nomes depende de registros, que podem ser de natureza muito diversa: memórias, práticas, monumentos e artefatos, escritos e documentos. Essas são as chamadas fontes históricas. E a interpretação depende de ideologia, na forma de uma filosofia da história. Esse depender é a essência do que se chama historiografia.

A história tem servido das mais diversas maneiras a grupos sociais, desde família, tribos e comunidades, até nações e civilizações. Mas sobretudo tem servido como afirmação de identidade. Em particular, a História da Matemática tem sido muito afetada por isso. É interessante notar o que o historiador soviético Konstantín Ribnikov diz no capítulo introdutório de seu livro: "No estrangeiro [Ribnikov vivia na então União Soviética] se dedica grande atenção à história das matemáticas. A ela está dedicado um conjunto de livros e artigos. Nem tudo neles é, porém, fidedigno. Às vezes os autores de obras sobre história da ciência subordinam seu trabalho a fins distantes da objetividade e do caráter científico." E depois de vários parágrafos de crítica à orientação idealista e reacionária desses livros e artigos, Ribnikov conclui "A luta entre as forças progressistas e reacionárias na ciência matemática, que é uma das formas da luta de classes, se revela de forma mais intensa nas questões históricas e filosóficas das matemáticas....Ela [a história da ciência] deve estar bem organizada como parte da educação ideológica do estudantado e dos trabalhadores científicos." [4]

A última frase da citação se aduna com a minha afirmação de não haver como escapar do caráter ideológico da História da Matemática, assim como de reconhecer que a ação educativa é uma ação política.

Igualmente, ao filósofo das ciências e da tecnologia cabe entender as tramas conceituais que permitem reconhecer, identificar e valorizar formas de explicações e de ações classificadas como científicas e tecnológicas.

Isso é particularmente importante se atentarmos para os descobrimentos e os processos de conquista e colonização. Distorções que deram como resultado a angustiante situação atual de coexistirem um mundo de fartura e prosperidade com um mundo de miséria e desumanidade, e a aterrorizadora perspectiva de extinção da civilização no planeta.

Poderíamos sintetizar essas prioridades perguntando história de quem, do ponto de vista de quem, com que intenções?

A contribuição dada pelas nações periféricas ao avanço da ciência e da tecnologia das nações centrais é, como um todo, trivial e marginal. Mas é inegável que, embora quantitativa e qualitativamente diferenciada, a produção científica e tecnológica dessas nações relativamente a seu próprio curso histórico tem sido não menos que essencial. O objetivo desta proposta é estudar a historicidade, muitas vezes negada, dessa produção.

Nos países periféricos e nas populações marginalizadas dos países centrais nota-se o mesmo. A atenção dada às contribuições dos locais tem sido quase nenhuma. Embora a produção dos locais tenha sido muitas vezes insignificante, defasada e até mesmo equivocada quando comparada com aquela dos países centrais e das classes dominantes, é importante estimular pesquisa sobre fatos e personagens que tiveram, num certo momento, grande importância e repercussão entre seus pares e sua comunidade. Assim como as ações do presente, em particular a pesquisa científica e tecnológica, devem focalizar prioridades locais, mesmo que muitas vezes essas prioridades não se situem nas fronteiras do conhecimento, a pesquisa histórica também deve ser dirigido a coisas de interesse local [5].

Reconheço quão perigosa é essa proposta e o risco que se corre de cair no ufanismo que, tanto do ponto de vista histórico quanto para ações no presente, contribui para mascarar a verdade histórica e pode abrir espaço para um desenvolvimento equivocado [6]. Mas risco não pode ser justificativa para inação.

Ao historiador das ciências e da tecnologia cabe não apenas o relato dos grandiosos antecedentes e conseqüentes das grandes descobertas científicas e tecnológicas, mas sobretudo a análise crítica que revelará acertos e distorções nas fases que prepararam os elementos essenciais para essas descobertas e para sua expropriação e utilização pelo poder estabelecido.

O CONHECIMENTO

No estado atual do conhecimento, podemos orientar nossas reflexões a partir das seguintes questões:

1. O que é realidade?

2. Como o indivíduo recebe informações que deflagram o processo cognitivo? Como funcionam os mecanismos sensoriais? O que é memória? O que é intuição?

3. Como se dá a comunicação? Quais seus limites? Quais as conseqüências da interação comunicativa?

4. Como se dá a geração individual do conhecimento?

5. Qual o processo social de geração do conhecimento?

6. Como o conhecimento já coletivizado se estrutura e é validado como um corpo de conhecimento? O que é verdade?

7. Como o conhecimento é reconhecido como elemento de poder? Quais os mecanismos de expropriação e de hierarquização de conhecimento?

8. Como se organiza a difusão do conhecimento? Como se disparte o conhecimento?

9. Quais os interesses e filtros que canalizam esse dispartir?

10. Como tem sido quebrado o ciclo geração-organização-expropriação-difusão ao longo da história?

As etapas identificadas, sintetizadas nas 10 questões acima, permitem uma análise histórico-crítica do conhecimento. Cada uma dessas questões constitui um programa de pesquisa e, no seu conjunto, uma proposta historiográfica [7].

Embora esteja começando a se delinear uma tendência na historiografia atual de encarar o conhecimento científico e tecnológico sob esse prisma, a matemática e sua história tem sido imune a essas reflexões. As 10 questões, focalizadas no conhecimento matemático, dão origem a um riquíssimo programa de pesquisa.

CONHECIMENTO

A questão central se refere ao conhecimento. Como é gerado? Como é organizado? Como é transmitido e difundido? E entender o conhecimento depende de se entender o fenômeno vida.

O conhecimento acadêmico, particularmente o conhecimento científico, apresenta-se na fase de difusão.

O homem, como todas as espécies vivas, tem sua existência identificada com a resolução das relações entre o indivíduo, o "outro"/sociedade e a natureza (imediata, planetária e cósmica). Meu ponto de partida é assumir a essencialidade mútua desses fatos, representada como

A metáfora do triângulo é conveniente pois, como todos sabem, os seis elementos (vértices e lados) são essenciais na definição de um triângulo.

Vida é a realização desse ciclo. A existência de cada indivíduo, que se identifica com sua autonomia na busca de sobrevivência, é a ativação desse ciclo. A interrupção de qualquer dessas conexões interrompe a vida.

A essencialidade mútua se manifesta nas conexões:

indivíduo - realidade

[para sobrevivência do indivíduo]

indivíduo - outro/sociedade

[para continuidade da espécie]

sociedade - natureza

[para sobrevivência da espécie]

que são necessárias para o fenômeno vida.

Os mecanismos fisiológicos e ecológicos são a resposta das várias espécies à resolução das relações presentes no triângulo da vida. Como disse acima, a quebra de qualquer das conexões determina o fim da espécie. E nenhum dos três elementos existe sem os demais. A natureza pode continuar sem alguma espécie. E alguma espécie poderá continuar sem outras. Mas serão as mesmas? [8]

Ao longo da sua história, o homo sapiens sapiens tem acumulado meios de sobrevivência e de transcendência, que constituem o acervo de conhecimentos da humanidade. Esses se manifestam como modos de fazer e sistemas de explicações que respondem a necessidades e indagações sobre os fatos básicos da realidade: o indivíduo, o "outro"/sociedade e a natureza (imediata, planetária e cósmica).

Os hominídeos são identificados há cerca de 5´ 10⁶ de anos, na região central da África. Há cerca de 3´ 10⁶ já se identificam instrumentos de pedra lascada, na África oriental, e mudanças comportamentais resultantes do desenvolvimento dessa tecnologia [9]. Com esses desenvolvimentos, criando instrumentos e as mudanças comportamentais resultantes, a espécie humana trouxe intermediações entre os fatos básicos da realidade:

O aparecimento dessas intermediações está identificado com a criatividade. O fazer e o saber matemático começam a se manifestar como uma estratégia para a realização dessas intermediações.

A realização dessas intermediações se dá pelo conhecimento, cujo ciclo tem três etapas:

a geração;

a organização intelectual e social;

a difusão.

O conhecimento, assim conceituado, tem várias dimensões: sensorial, intuitiva, emocional, mística, racional.

O conhecimento que se desenvolveu a partir das culturas mediterrâneas, caracteriza-se por ter aprofundado uma percepção do cosmos, do planeta e da natureza que vê os seres humanos como uma espécie privilegiada. Esse conhecimento acarreta um comportamento ditado por privilégios.

Ao longo da história, o conhecimento originado nas culturas mediterrâneas foi, gradativamente, eliminando as dimensões sensorial, intuitiva, emocional e mística. O conhecimento com maior ênfase no intuitivo foi identificado com as artes, o místico e o emocional com as religiões e o sensorial com empirismo e suas conotações negativas. Impôs-se, como a característica por excelência do ser humano, a dimensão racional do conhecimento por ele gerado.

Os vários corpos de conhecimento, estruturados segundo a dimensão racional, passaram a ser denominados ciências. A dimensão racional passou a ser identificada com ciência, com racionalidade. As demais dimensões comparecem no que são chamadas as tradições.

O CONHECIMENTO MATEMÁTICO

O padrão da racionalidade científica nas civilizações da bacia do Mediterrâneo passou a ser como uma forma de conhecimento que foi, a partir do século XV, genericamente denominada matemática. Mas é muito significativo que o flanco vulnerável da racionalidade científica encontra-se essencialmente na matemática.

Ainda é comum tentar justificar o conhecimento matemático por si próprio, e os avanços da matemática são muitas vezes atribuídos somente à dinâmica interna desse conhecimento. Em grande parte isso se deve a quão pouco se sabe sobre a natureza do conhecimento matemático. Num trabalho recente, o matemático Barry Mazur diz que "Como toda História Intelectual, muito da História da Matemática simplesmente nunca é captada: seus principais artefatos são idéias que passam a maior parte de sua vida em um estado volátil, não registrado. Sua eventual distilação como registro escrito ocorre muito tempo depois de seu descobrimento inicial." [10]

A História da Matemática, que se firmou como uma ciência somente no século passado, tem como grande preocupação o rigor da identificação de fontes que permitem identificar as etapas desse avanço. Isso afeta não só a história da matemática nas nações e populações periféricas, mas igualmente causa distorções na visão de prioridades científicas das nações dominantes.

A proposta historiográfica está implícita no Programa Etnomatemática teve sua origem na busca de entender o fazer e o saber matemático de culturas marginalizadas. Mas remete sobretudo à dinâmica da evolução desses fazeres e saberes, resultante da exposição a outras culturas. Mas a cultura do conquistador e do colonizador de antanho e dos tempos atuais também evoluiu a partir de uma dinâmica de encontro. Mesmo livros elementares reconhecem, muito antes do polêmico afro-centrismo, que "[A ciência helênica] teve seu nascimento na terra dos Faraós de onde os filósofos, que ali iam se instruir com os sacerdotes egípcios, trouxeram os princípios elementares." [11] O encontro cultural assim reconhecido, que é essencial na evolução do conhecimento, não estava subordinado às prioridades coloniais como as que se estabeleceram posteriormente.

O Programa Etnomatemática não se esgota no entender o conhecimento [saber e fazer] matemático das culturas periféricas. Procura entender o ciclo da geração, organização intelectual, organização social e difusão desse conhecimento. Naturalmente, no encontro de culturas há uma importante dinâmica de adaptação e reformulação acompanhando todo esse ciclo, inclusive a dinâmica cultural de encontros [de indivíduos e de grupos]. [12]

Por que Etnomatemática? Poderíamos falar em Etnociência, um campo muito intenso e fértil de estudos, ou mesmo Etnofilosofia [13]. A melhor explicação para adotar o Programa Etnomatemática como central para um enfoque mais abrangente aos estudos de história e filosofia está na própria construção do termo. Embora haja uma vertente da etnomatemática que busca identificar manifestações matemáticas nas culturas periféricas tomando como referência a matemática ocidental, o Programa Etnomatemática tem como referências categorias próprias de cada cultura, reconhecendo que é próprio da espécie humana a satisfação de pulsões de sobrevivência e transcendência, absolutamente integrados, como numa relação simbiótica.

A satisfação do pulsão integrado de sobrevivência e transcendência leva a desenvolver modos, maneiras, estilos de explicar, de entender e aprender, e de lidar com a realidade perceptível. Um abuso etimológico levou-me a utilizar, respectivamente, tica [de techné], matema e etno para essas ações e compor a palavra ETNO-MATEMA-TICA, ou ETNOMATEMÁTICA.

O pensamento abstrato, próprio de cada indivíduo, é uma elaboração de representações da realidade e é compartilhado graças à comunicação, dando origem ao que chamamos cultura. Os instrumentos [materiais e intelectuais] essenciais para essa elaboração incluem, dentre outros, sistemas de quantificação, comparação, classificação, ordenação e linguagem. O Programa Etnomatemática tem como objetivo entender o ciclo do conhecimento em distintos ambientes.

UMA PROPOSTA HISTORIOGRÁFICA

Creio que é hora de adotarmos novas propostas historiográficas e epistemológicas que permitem lidar com a difícil tarefa de recuperar, na história das ciências e da tecnologia, o equilíbrio triangular que deve resultar da mescla de tradições indígenas, européias e africanas na cultura latino-americana [14].

Na busca de se procurar fundamentar o conhecimento matemático e a sua geração, na transição do século XIX para o século XX, o intuicionismo de L. E. J. Brouwer, proposto em 1906, contrapõe-se ao logicismo de Bertrand Russell e ao formalismo de David Hilbert, rejeitando justamente o tertium non datur (lei do terceiro excluído), sobre o qual se funda grande parte do pensamento matemático [15].

Igualmente atingida foi a visão de um universo newtoniano, modelo matemático por excelência do racionalismo científico, com o surgimento das mecânicas quântica e relativística, a partir de Max Planck e Albert Einstein e com as formulações de Niels Bohr e Werner Heisenberg [16]. Fundamentalmente atingida foi a percepção de uma realidade determinista e a linearidade nela implícita, obedecendo relações de causa-efeito. Abriu-se assim o caminho para as teorias geral dos sistemas e teorias do caos e da complexidade e para uma nova visão do universo.

Mas possivelmente o que mais abalou a tranqüilidade resultante da identificação de racionalidade com matemática foram os resultados de Kurt Gödel que mostrou, em 1931, que é impossível provar a consistência de um sistema formal utilizando somente argumentos que podem ser formalizados no próprio sistema [17].

O conhecimento gerado pelo homem segundo os padrões de racionalidade construídos ao longo de 3.000 de cultura ocidental revelaram, graças aos instrumentos por ele próprio criado, sua fragilidade.

As próprias ciências e a tecnologia moderna, muitas vezes chamada tecnociência, criaram os instrumentos que possibilitam antever o perigo de extinção da espécie. A alternativa de uma espécie modificada, que tem sido contemplada na ficção, é hoje uma possibilidade.

O FATO MATEMÁTICO

O conhecimento matemático se manifesta como uma estratégia para a realização das intermediações criadas pelo homem entre indivíduo, outro/sociedade e natureza, como foi dito acima. A definição de estratégias é um ato criativo por excelência [18]. Aí se manifesta a criatividade matemática.

A criatividade matemática é especialmente notada na criação dos instrumentos materiais e intelectuais de intermediação. Dentre esses, estão os instrumentos propriamente ditos, as ferramentas, e as tecnologia.

A matemática de instrumentos, de ferramentas e de tecnologia talvez seja a primeira manifestação de um fazer/saber matemático. Isso se manifesta numa matemática classificatória, de avaliação de dimensões [19]. Essa matemática foi essencial no desenho de artefatos de pedra lascada, na distribuição e armazenamento de alimentos, e no reconhecimento da regularidade cósmica, como notada nas alternâncias de dia e noite. A contagem de tempo aparece como uma das primeiras formas de um saber matemático, com codificações específicas [20].

Maneiras de classificar, comparar, medir, quantificar, foram evoluindo, assim como formas de comunicação, estilos de comportamento, modos de lidar com o ambiente natural para poder sobreviver e sistemas de explicações para responder a questões maiores [como?, por que?] e para transcender o momento foram evoluindo, foram sendo criadas pelos hominídeos em vários ambientes distintos e, naturalmente, de maneiras distintas.

A espécie homo sapiens sapiens, que se reconhece em todo o planeta há cerca de 50.000 anos, já mostra consistência na organização de sistemas de explicações e de lidar com seu ambiente. Registro coerente desses sistemas datam de cerca de 5.000 anos e se encontram nas histórias das civilizações. São melhor estudadas as histórias das civilizações potâmicas do Nilo, do Tigre e Eufrates, do Indos e do Huang, da antigüidade mediterrânea, particularmente Grécia e Roma, e das civilizações andinas. A história da matemática no Egito, na Babilônia, em Roma e principalmente na Grécia são bem estudadas. As demais civilizações começam agora a ser melhor estudadas [21].

O objetivo deste trabalho é o fazer matemático. Na civilização ocidental conhecemos, desde a Antigüidade até os tempos modernos, os fatos matemáticos. Quais as origens desses fatos?

Há duas grandes correntes. Uma diz que filósofos e matemáticos descobrem o fato que existia como resultado de um encadeamento de outros fatos. O fato matemático é assim concluído em si. A intervenção do homem é reconhecer o encadeamento e tomar decisões na sua organização. Esse é o pensamento platônico. Uma conseqüência dessa posição é que uma civilização em que todos são cegos produziria a mesma matemática que uma civilização em que todos têm uma vista acurada. Isso leva a uma visão de homem em que sua essência é uma racionalidade padrão, e o fato criado é reservado aos que atingem o domínio dessa racionalidade.

Uma outra corrente diz que o homem cria novos fatos a partir de uma multiplicidade de informações captadas da realidade e que o processamento dessas informações se dá especificamente para cada indivíduo, dependendo de experiências prévias e de memória individual e coletiva. O fato criado é inconcluso em si e se realiza a partir da sua receptividade por outros indivíduos.

Estou mais identificado com essa posição e assim a questão da criatividade se coloca como fundamental. Como todo fato criado, o fato matemático é, em si, inconcluso.

NOTAS

1. Ver Ubiratan D'Ambrosio: Mathematics and Literature, Essays in Humanistic Mathematics, ed. Alvin M. White, The Mathematical Association of America, Washington DC, 1993;pp.35-47.

2. Michele Emmer: Interview with Ennio De Giorgi, Notices of the AMS, vol. 44, n° 9, October 1997, pp.1097-1101.

3. Falo em nações periféricas e nações centrais para me referir àquelas que participaram e participam do processo de globalização do planeta que se iniciou no final do século XV na condição de colonia ou nação políticamente independente mas economicamente dependente, e nações centrais aquelas que foram ou são metrópoles coloniais ou detentoras dos meios e controle de produção e comércio. Em momentos variados as nações periféricas foram chamadas Terceiro Mundo, subdesenvolvidas, em desenvolvimento, emergentes e outros eufemismos.

4. Konstantín Ribnikov: História de las Matemáticas, Editorial Mir, Moscou, 1987;p.19.

5. Ver Ubiratan D’Ambrosio: "Adequate Mathematics for Third World Countries: Consideranda and Strategies", Developing Mathematics in Third World Countries, ed. M. El Tom, Mathematics Studies 33, North-Holland Pub. Co., Amsterdam, 1979; pp.33-46.

6. Essa é a razão do grande conflito que se manifesta hoje com relação ao "Afrocentrismo", uma proposta de revisão da história que privilegia a participação africana na construção do conhecimento grego. Um artigo representativo desse movimento é de Beatrice Lumpkin: "Africa, Cradle of Mathematics", Ganita-Bharati, vol.19, nos. 1-4(1997),pp-1-10. Uma coleção de artigos que mostram muito bom a intensidade dessas discussões é o livro Black Athena Revisited, ed. by Mary R. Lefkowitz and Guy MacLean Rogers, The University of North Carolina Press, Chapel Hill, 1996.

7. Ver meu artigo intitulado "Bases historiográficas e metodológicas para uma história e filosofia das ciências na América Latina", Episteme, vol.3, n°6, 1998; pp. 300-310.

8. O gorila mestre Ismael tem, na parede do seu escritório, um quadro com a pergunta "Com o fim da humanidade haverá esperança para o gorila?" e no reverso a pergunta "Com o fim do gorila haverá esperança para a humanidade?". Veja a bela fábula de Daniel Quinn: Ismael. Um Romance sobre a Condição Humana, Editora Fundação Peirópolis, São Paulo, 1998.

9. Jean de Heizelin et al.: Environment and Behavior of 2.5-Million-Year-Old Bouro Hominids, Science, vol.284, 23/04/99; p.625-629.

10. Barry Mazur: Conjecture, Synthese 111, 1997;pp.197-210; p.197.

11. J. Boyer: Histoire des Mathématiques, Gauthier-Villars, Paris, 1900; p.9.

12. Ver meu livro Etnomatemática. Arte ou Técnica de Explicar e Conhecer, Editora Ática, São Paulo, 1990, para uma discussão mais elaborada desse programa.

13. O termo foi utilizado, com muita propriedade, por Gary Urton: The Social Life of Numbers. A Quechua Ontology of Numbers and Philosophy of Arithmetic, University of Texas Press, Austin, 1997.

14. A figura do equilíbrio triangular devo a Arnaldo Momigliano, "The Fault of the Greeks", Daedalus, Spring 1975; pp.9-19.

15. Para uma síntese ver o verbete Foundations of Mathematics no excelente Encyclopedic Dictionary of Mathematics, by the Mathematical Society of Japan, edited by Shôkichi Iyanaga and Yukiyosi Kawada, translation reviewed by Kenneth O. May, The MIT Press, Cambridge, 1980; p.549.

16. Para uma síntese ver o verbete quantum no Dictionary of the History of Science ed. W. F. Bynum, E. J. Browne, Roy Porter, Princeton University Press, Princeton, 1984.

17. op.cit. em nota 15, p.550.

18. Ver meu livro Da Realidade à Ação. Reflexões sobre Educação (e) Matemática, Summus Editorial, São Paulo, 1988.

19. Utiliza-se essa primeira manifestação matemática nos brinquedos de estimulação precoce, para crianças na faixa de um ano de idade.

20. Por exemplo, a marcação do ciclo menstrual em ossos.

21. Ver Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, ed. Helaine Selin, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997.