A MATEMÁTICA NOS DESCOBRIMENTOS

8° EBEM, Salvador, 8 de fevereiro de 2000

"porque prometiam ao pai e ao filho traze-lo de volta dentro de 20 luas o mais tardar; pois assim significam eles os meses"

Binot Paulmier de Gonneville, 1504

Nos séculos XV e XVI se desenvolveram em Portugal importantes estudos sobre navegação que culminaram com as viagens de Cristóvão Colombo (1451-1506) no hemisfério norte, que chegou à América em 1492, de Vasco da Gama (ca 1469-1524), que em 1498 chegou à Índia pelo hemisfério sul, e de Fernão de Magalhães (ca 1480-1521), que em 1520 encontrou a passagem marítima para o Pacífico. Em 28 anos o planeta se globalizou.

A grande proeza de viajar por todos os mares descobrindo, para os Europeus, novas terras, novos povos e novas possibilidades foi resultado de um projeto de grande envergadura que se origina nos primeiros tempos da monarquia portuguesa [1]. O mais importante cronista da época é Duarte Pacheco Pereira (ca 1460-1533). Na sua obra monumental, o Esmeraldo de Situs Orbis, ele fala sobre o conhecimento nos descobrimentos [2]. O autor faz um importante relato sobre o que se sabia e o que se aprendeu com o encontro de novos povos e novas culturas, principalmente referindo-se à África.

Quanto conheciam os portugueses para poderem um desenhar um projeto tão ambicioso e leva-lo a cabo. As navegações dependiam fundamentalmente de conhecimentos astronômicos, isto é, matemáticos.

Algumas questões se colocam naturalmente:

Que conhecimentos matemáticos possuíam os navegantes ibéricos?

Que conhecimentos matemáticos havia nas outras nações européias?

Que conhecimentos matemáticos os navegadores encontraram nas novas terras?

Na Idade Média e entrada no Renascimento pode-se distinguir cinco tipos de matemática:

Matemática abstrata, teórica, ligada a fenômenos naturais e questões místicas e religiosas [Tomás de Aquino (ca 1225-1274), Thomas Bradwardine (?1290-1349), Nicolau Copérnico (1473-1543)];

Matemática mercantil, contábil, comercial, diletante [Luca Pacioli (1445?-1514), Bastiano da Pisa, il Bevilacqua (1483?-1553), Nicoló Tartaglia (1500?-1557), Gerolamo Cardano (1501-1576)];

Matemática de arquitetos e artistas [Sebastiano Serlio (1475-1554], Alberto Dürer (1471-1528)];

Matemática das navegações, astronomia, geografia [Pedro Nunes (1502-1572)];

Matemática dos povos conquistados.

Cada um desses tipos tinha um estilo próprio, com objetivos e métodos muito específicos. Os nomes relacionados acima em colchetes são os mais representativos de cada um desses estilos. Suas biografias servem de apoio para a diferenciação que eu proponho entre os tipos de matemática praticados na época. As relações entre essas diferentes matemáticas eram raras até meados do século XVI.

Embora meu objetivo não seja analisar essas diferentes matemáticas e suas relações, algumas características de cada uma dessas matemáticas poderão ser notadas no curso deste trabalho.

Vou começar com uma revisão muito rápida da história da matemática ocidental, com ênfase na península ibérica.

Da Antigüidade à expansão do Islão

Devemos começar examinando os tempos de Grécia e Roma. O conhecimento matemático desenvolvido pelos gregos era conhecido pelos povos mediterrâneos e foi por eles absorvido, porém com características diferentes. Ao assimilar o conhecimento matemático eminentemente prático dos egípcios e dos babilônicos, os gregos criaram uma matemática abstrata, teórica e dedutiva. São óbvias as características místicas e religiosas dessa matemática, que veio preencher um vazio não resolvido pela rica mitologia grega. Na verdade, essa matemática caracterizou a civilização grega. Os ideais de beleza, o rigor e as dúvidas filosóficas, a organização social e política e mesmo as práticas médicas guardam íntima relação com a matemática. Os povos subordinados ao Império de Alexandre, no século III a.C., estavam totalmente integrados nessa civilização.

O Império Romano, que se expandia pelo leste europeu, possuía uma matemática eminentemente prática, sem as características daquela desenvolvida pelos gregos, e nem mesmo pelos egípcios e babilônicos. Os sistemas de contagem e as medidas satisfaziam as necessidades do dia-a-dia, da urbanização e da arquitetura monumental. Por mais sofisticada que fosse a organização da sociedade romana, e portanto esses sistemas que permitiam sua operacionalidade, eles jamais se integraram no importante sistema filosófica do mundo romano.

Quando o Império Romano conquistou os territórios dominados pelos gregos, absorveu o conhecimento matemático que interessava ao projeto romano, aproveitando unicamente os aspectos práticos dessa matemática. Isso fica evidente no livro de arquitetura de Vitruvius, que é a melhor síntese dos conhecimentos técnico-científicos dos romanos [3].

A península ibérica, que era parte do mundo romano, também absorveu essa ciência prática.

Com o advento do cristianismo, a matemática grega foi simplesmente deixada de lado e jamais penetrou nos mosteiros. Algumas poucas traduções não tiveram repercussão. Aos poucos a própria língua grega caiu em desuso.

Nos primeiros séculos do cristianismo, a chamada Alta Idade Média, continuou-se a desenvolver uma matemática prática. A contagem se fazia com ábacos e dedos e os registros numéricos com o sistema de numeração romana. Essa era a matemática que se praticava na península ibérica quando, no século VII, se deu a invasão islâmica. Uma fonte importante que temos sobre essa época se deve a Santo Isidoro (ca 560-636), de Sevilha, que escreveu uma síntese do conhecimento da época num livro chamado Etimologias.

Deve-se notar que na região que poderíamos denominar periferia oriental do Império Romano, instalou-se em 395 o Império Bizantino, capital Constantinopla, com forte influência grega e com diferenças fundamentais do cristianismo de Roma. Essas diferenças culminaram com o grande cisma de 1054, que marcou a recusa dos cristãos bizantinos de aceitarem a autoridade do bispo de Roma, chamado Papa, sobre todos os cristãos. Surgiu assim a Igreja Ortodoxa.

A presença cultural grega continuava forte no Norte da África. Nessa região, a conversão ao cristianismo foi menos intensa e as tradições judaicas se mantiveram presentes. Os povos árabes que habitavam essa região, adotando tradições judaicas, ofereceram uma grande reação ao cristianismo e propiciaram a revelação corânica, pela qual Maomé fundou o Islamismo em 622.

Num rápido processo de conquista, o islamismo estendeu-se a toda a periferia do Império Romano e atingiu a península ibérica, pretendendo chegar a Roma. Em 732, eles foram detidos, em Poitou, por Carlos Martelo, reconhecido como o salvador da cristandade latina. O Islamismo instalou-se em praticamente toda a península ibérica. No Oeste, Constantinopla, capital do Império Bizantino, resistiu as invasões islâmicas. Somente veio a ser conquistada pelo turcos em 1453.

A forte tradição cultural dos povos árabes foi um importante elemento no sucesso das conquistas islâmicas e no desenvolvimento de uma civilização que absorveu muito da cultura grega. Mas no momento da conquista, os conquistadores muçulmanos não praticavam a matemática grega. O grande desenvolvimento científico veio pouco após.

Em 813, Abu al-Abbas al-Mamum (786-833) tornou-se Califa do Império Abássida, uma das divisões que resultaram do império islâmico após a morte de Maomé. Al-Mamum destacou-se por seu grande apoio à cultura científica e à monumental biblioteca denominada "Casa da Sabedoria", que seu pai Harun al-Rashid havia fundado em Bagdá. Ali estimulou um grande desenvolvimento para a matemática mística herdada dos gregos. É interessante notar que sob al-Mamun foi elaborado o Livro do Tesouro de Alexandre, prontuário de saberes mágicos, alquímicos e farmacológicos, com fórmulas de elixires e venenos [4]. É interessante notar a precisão numérica das dosagens. A fundamentação teórica recorre a propriedades de triângulos e hexágonos numa geometria mística, evidencia da presença da astrologia nessa cultura. Mas se fazia necessária uma astronomia que servia de suporte a essa astrologia. Igualmente necessária uma matemática prática, voltada à satisfação dos preceitos do Corão. Particularmente, localizações geográficas em um vastíssimo império que tinha como capital espiritual Meca, em direção a qual todos os muçulmanos devem se voltar nas horas rigorosas de oração. E também a uma nova economia que se desenvolve a partir de um outro modelo de propriedade e herança. Essas necessidades de uma matemática prática exigiam habilidades de cálculo que não faziam parte da matemática dos gregos e dos romanos. Foi necessário recorrer a conhecimentos matemáticos de outras culturas.

A figura mais representativa desse esforço para se criar uma nova escola de matemática foi Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi (ca 780 - ca 850), contratado por al-Mamun. Originário de Kwarizmi, na região do Mar Cáspio, este matemático era certamente familiar com a matemática dos hindus. Além de importantes tabelas astronômicas, ele introduziu os algarismos hoje denominados indo-arábicos, e os algoritmos das operações com esses algarismos. Também as operações básicas para a resolução de equações, que são a redução de termos semelhantes [al-muqabola] e transposição do sinal de igual com mudança de sinal [al-jabr], e a fórmula de resolução das equações de 2° grau [5].

Enquanto prosperava o império islâmico, a Europa experimentava um período de consolidação do regime feudal e de intensificação do comércio. A necessidade religiosa de acesso aos locais sagrados para o cristianismo, aliada à necessidade de novas rotas para abastecer um comércio emergente na próspera Europa medieval, deram origem a expedições de reconquista que se denominaram cruzadas.

As cruzadas e a importância dos monges-cientistas

A partir da primeira cruzada, em 1096, a Europa cristã teve acesso aos elementos básicos da cultura árabe, inclusive interpretações da filosofia grega clássica. Iniciou-se, assim, uma revitalização das pesquisas nos mosteiros da Europa. Foi necessário criar um outro espaço intelectual, onde temas aprendidos dos hereges muçulmanos poderiam ser discutidos. Surgem assim as universidades, das quais as primeiras são em Bolonha (ca 1088) e Paris (ca 1170).

Conhecia-se a aritmética como aparecia no livro de Euclides, que era parte do quadrivium, mas que se referia a propriedades dos números, algumas místicas. A geometria de Euclides despertava menor interesse.

Note-se que a síntese de conhecimentos, com estilos e objetivos distintos e representando várias tradições, confluiu principalmente para os mosteiros. As preocupações tradicionais da filosofia, procurando explicar fenômenos tão presentes quanto o movimento, confundia-se com a teologia. O pensamento da Idade Média culmina com a obra maior que é a Summa Theologica, de São Tomás de Aquino. A síntese de conhecimentos, que começaram a ser reconhecidos como integrando um mesmo corpo de idéias, passou a ser conhecida por uma palavra ainda um tanto indefinida, Matemática. Estava assim sendo preparadas as bases para o surgimento de uma ciência que viria a ser identificada como Matemática e que somente no século XIX se estabeleceria como uma ciência autônoma.

A maior influência para a modernização da matemática veio de Aristóteles. As reflexões sobre movimento, o fenômeno natural que mais intrigava os filósofos da época, eram intensas. Estudava-se as relações entre espaço e tempo e a aceleração. Igualmente havia uma preocupação com ótica. O trabalho dos monges-cientistas, principalmente na Inglaterra, dentre os quais se destacam Roger Bacon (ca 1214-1292?), Thomas Bradwardine (?1290-1349) e Guilherme de Ockham (1285-1349), foi fundamental como preparação para o surgimento da mecânica newtoniana.

A influência das reflexões, equivocadas, de Aristóteles foi fundamental no desenvolvimento da matemática. Sua afirmação que quanto mais pesado o corpo, maior sua velocidade de queda, passou por contestações. São importantíssimos os estudos de Thomas Bradwardine e de seus colegas no Merton College (William Heytesbury, Richard Swineshead, John Dumbleton et al).

A Lei de Bradwardine nos fala da relação entre força e resistência à velocidade na produção do movimento. Da Escola de Merton surgem alguns conceitos fundamentais, como os de movimento uniforme, aceleração uniforme e o teorema da velocidade média. Estava assim preparado o terreno para a busca de explicações para o mais fundamental dos fenômenos reconhecidos na época, o movimento [6]. Incluídas nessas reflexões estavam as noções de espaço e tempo.

Deve-se destacar os importantes estudos do português Álvaro Tomáz, afirmando que todos os corpos de qualquer dimensão e composição material caem com igual velocidade no vácuo [7].

As pesquisas de Álvaro Tomáz seriam retomadas, mais de cem anos depois, por Galileo Galilei (1564-1642) no seu Discurso sobre Duas Novas Ciências (1638). Teria Galileo conhecimento dos resultados de Tomáz? Esse é mais um questionamento sobre a originalidade dos resultados enunciados por Galileo na sua importante obra.

Igualmente importante foram as investigações sobre o sistema planetário. Nicolau Copérnico, estudou teologia, matemática, medicina e astronomia no Vaticano e, por insistência do Papa Clemente VII, escreveu o De Revolutionibus orbium celestium, onde propõs o sistema heliocêntrico.

Uma matemática de mercadores, artesãos e amadores

Mas o desenvolvimento de novos conhecimentos matemáticos não ficou somente no ambiente das universidades e dos mosteiros. A numeração romana e as operações, que eram feitas com as mãos e com ábacos, se mostrava inadequada para o comércio que se intensificava.

A expansão do cristianismo pela Europa criou necessidades de espaço de culto mais amplos e também de iconografia e música apropriadas a esses espaços. A representação de Cristo e dos santos feitas no mesmo plano tinham pouco impacto. Representações em vários planos, sugerindo o infinito, condizia com a impressão causada pelas monumentais catedrais góticas. Surgem assim uma nova teoria de forças, que possibilitou a arquitetura gótica, e uma nova geometria, a perspectiva. Para preencher os enormes espaços possibilitados pela arquitetura gótica o canto gregoriano desenvolveu novas formas que culminariam nos enormes órgãos e na polifonia. Houve um processo evidente de matematização dos artesãos e artistas.

Essas novas formas de arte, que têm intrínseca a elas uma nova matemática, chegou tardiamente à península ibérica.

As grandes catedrais criaram uma nova organização urbana, com o surgimento de um comércio intenso. As novas profissões urbanas, ligadas ao comércio, praticavam uma aritmética, que tinha a ver com operações mercantis, bem como uma álgebra associada a problemas práticos de heranças e de comércio, distinta da aritmética que investigava propriedades dos números naturais. Essa nova aritmética beneficiou-se da matemática desenvolvida por al-Kwarizmi no século IX e foram difundidas na Europa pelos "mestres do ábaco". Com os algarismos indo-arábicos surgiu um importante instrumento mercantil. Leonardo Fibonacci(ca 1180-ca 1240), de Pisa, publicou em 1202 o Liber Abaci, que se tornou o modelo de inúmeros livros de aritmética publicados na Idade Média. O interesse nos novos métodos de calcular se intensificaram nos séculos seguintes. Houve uma intensa produção de livros destinados a ensinar a arte de calcular. Lembro a interessante figura de Bastiano de Pisa, que foi chamado para ensinar o ábaco, isto é, cálculo, em Modena, em 1517. Publicou o Tratato d’Arismeticha Praticha, possivelmente em 1540. Morreu em 1553, vivendo de esmolas.

A prosperidade das cidades européias e uma grande atenção dada à cultura, induziu mecenas e cidades a financiarem pintores e escultores, a fundarem academias para estudo e tradução dos autores clássicos. Dentre as academias destaco a de Marsilio Ficino (1433-1499), em Florença, freqüentada por Amérigo Vespucci, que depois, como agente dos banqueiros Medici na Espanha, teve importante atuação nas viagens de Cristóvão Colombo e no reconhecimento da costa brasileira em 1501, a serviço do Rei Dom Manuel I [8].

Os mecenas também financiavam algumas formas de atividades intelectuais competitivas. Havia prêmios para criar conhecimentos novos, que avançassem o que vinha da antigüidade. Em particular, torneios para resolução de problemas matemáticos. Sem outro interesse que os prêmios, foram se desenvolvendo métodos para resolver equações de terceiro e depois de quarto grau. A resolução de equações de terceiro grau foi, por um curto período, propulsor de uma grande inovação na matemática. Os métodos desenvolvidos por Scipione del Ferro (1465-1526), Nicolò Tartaglia (ca 1499-1557) e organizados pelo médico Gerolamo Cardano (1501-1576) na sua importante obra Ars Magna (1545), deram origem a uma nova ciência. Aí se encontram os métodos para a resolução de equações de 3°grau e algumas de 4° grau, tratados como casos.

Mas se fazia necessário enunciar fórmulas gerais para a resolução dessas equações, com coeficientes quaisquer. Coube a François Viète (1540-1603), com sua Ars analytique 1591, essa proeza, combinando a efetividade dos métodos de resolução com o rigor das construções da geometria clássica. Para isso se fez necessário um novo simbolismo. Todas as grandezas são representados por letras: as variáveis conhecidas (parâmetros) por consoantes e as incógnitas por vogais. Viète baseia seu cálculo em duas operações, a logística numeralis, com números, e a logística speciosa, lidando com as letras. E divide o seu método em três etapas, a resolução das equações [zeteticque], a demonstração que os resultados encontrados são efetivamente soluções [porifticque}, e a teoria das equações [exegeticque] [9].

Embora a resolução de equações algébricas, uma preocupação típica dos círculos europeus no século XVI, pouco tivesse a ver com a ciência que estava preocupando os cientistas das universidades, ela foi rapidamente assimilada pelo mundo acadêmico. E mostrou-se muito conveniente para o processo de matematização das ciências físicas, levado adiante a partir dos trabalhos de Francis Bacon (1561-1626) e de René Descartes (1596-1650).

A matemática e as técnicas

Deve-se destacar que, no final da Idade Média, muitas áreas de conhecimento, de tradições e sobretudo motivações distintas, começaram a se relacionar. O desenvolvimento das técnicas é impressionante. A Europa medieval foi capaz de absorver e organizar a utilização de importantes inventos desenvolvidos na China, na Índia e no mundo árabe. Os árabes herdaram e aprimoraram o conhecimento grego e a rápida expansão islâmica teve como resultado a absorção da técnica avançada dos povos convertidos. Assim, através dos árabes, a Europa medieval recebeu importantes conhecimentos de medicina, particularmente ótica oftalmológica, técnica química, cosméticos e culinária. Além de novas condições para apoiar o grande desenvolvimento do comércio e das artes, das navegações e das invenções, criando assim a demanda para um conhecimento mais amplo.

Na era das grandes navegações, no final do século XV e início do século XVI, a Matemática incluía um interesse em Geometria, desenvolvida com vistas aos estudos astronômicos e às navegações. Particularmente, o estudo de uma geometria da esfera, por John de Holywood ou Sacrobosco (ca 1200-ca 1256), foram importantíssimos nas navegações. Mereceram duas traduções em Portugal, por Dom João de Castro e por Pedro Nunes [10].

Nos séculos XV e XVI se desenvolveram em Portugal estudos sobre navegação que culminaram com as viagens de Cristóvão Colombo no hemisfério norte, em 1492, de Vasco da Gama, que chegou à Índia em 1498 pelo hemisfério sul, e de Fernão de Magalhães, que encontrou a passagem marítima para o Pacífico em 1520. O planeta então se globalizou. Observações do céu no hemisfério sul, a descoberta de outros povos e de outras civilizações, e as novas possibilidades econômicas oferecidas às nações da Europa tiveram conseqüências profundas no conhecimento.

Os conhecimentos matemáticos na península ibérica eram muito diferentes, no conteúdo e nos objetivos. O estilo da matemática ibérica era outro.

Lembremos que o islamismo absorveu muito da cultura grega. Aos poucos, os textos científicos gregos foram sendo trabalhados pelos intelectuais islâmicos. As obras de Euclides e outros matemáticos gregos foram são traduzidos. Particularmente importante foi a tradução da obra de Ptolomeu sobre o sistema planetário, denominada Al-Magesto (A Maior) pelos árabes, e os tratados de geografia.

Mas a ciência e a matemática árabe eram, como a dos romanos, eminentemente voltadas à prática. Essa característica estendeu-se aos califados ibéricos. No final do século XIII, Portugal, ao decidir se tornar independente dos reinos da Espanha, viu-se forçado a procurar opções comerciais pelo Atlântico. Assim definiu-se a vocação portuguesa pela navegação. O conhecimento científico e tecnológico disponível era legado pelos romanos, acrescentado, em pequena escala, pelos árabes. Distante e relativamente isolado, a aquisição dos avanços científicos e filosóficos dos árabes foi reduzida.

Como vimos acima, após as cruzadas, a partir de 1095, a cultura muçulmana mais avançada penetrou nos mosteiros europeus, com preocupações especiais sobre o movimento, o que marcou o início de reflexões científicas teóricas. Associou-se a isso a introdução do sistema de numeração indo-arábico, com a finalidade principal de satisfazer as necessidades do comércio que se intensificava.

Mas os algarismos indo-arábicos não foram adotados em Portugal senão a partir de meados do século XV, e mesmo assim somente em alguns setores. É interessante notar que o Esmeraldo de Situ Orbis é uma das primeiras obras a utilizar os algarismos arábicos em Portugal.

Temos, portanto, duas vertentes de conhecimento científico e matemático na Europa do final do século XV. Um praticado na Europa, construindo as bases do que viria ser a ciência moderna, representado principalmente por Bradwardine e a escola de Merton; e outro, praticado em Portugal, repousando essencialmente sobre os trabalhos de Ptolomeu, e o Tratado da Esfera, de Sacrobosco.

Portugal

Por razões que se pode entender facilmente, Portugal, ao se firmar como um reino independente, não teve condições de intercâmbio com a Europa pelas rotas terrestres. A busca de rotas marítimas foi fundamental na consolidação do reino.

A figura mais importante dessa empresa foi o infante Dom Henrique, chamado o Navegador, quem planejou e em grande parte executou o mais importante projeto de expansão na história da humanidade [11]. Nessa época foi conhecida toda a África, planejou-se a rota para as Índias, iniciou-se a conquista do Atlântico e logrou-se a circunavegação do globo terrestre.

Embora o intercâmbio entre Portugal e a Europa fosse reduzido, o grande centro de pesquisa que se formara em Portugal atraía europeus de várias nações. Destaca-se o alemão Martin Behaim, de Nüremberg, possivelmente um discípulo de Regiomontanus, que em 1480 foi para Portugal [12]. Os métodos da trigonometria foram assim introduzidos em Portugal, criando condições para a representação da Terra como um globo [13]. Em 1475 também o jovem genovês Cristóvão Colombo foi para Portugal , onde já estava seu irmão, o cartógrafo Bartolomeu Colombo.

A base das ciências náuticas era a matemática. Sem dúvida, o mais importante matemático da época foi Pedro Nunes (1502-1572) [14].

Pedro Nunes foi uma das figuras mais interessantes do Renascimento português. Reconhecido e ao mesmo tempo contestado, Pedro Nunes pode ser considerado o grande navegador do século XVI, embora jamais tenha ido aos mares. Considerado o mais importante cartógrafo e matemático do grupo de intelectuais reunidos pelo Infante Dom Henrique no que simbolicamente se chamou a Escola de Sagres, ele deixou importante obra científica e também uma considerável obra poética e literária. Embora Dom Henrique tenha morrido em 1460, sua obra foi continuada pelo seu sobrinho-neto, o Rei Dom João II, que faleceu em 1495. Coube a Dom Manuel, que foi rei de 1495 a 1521, a ventura de estabelecer o império colonial. E por isso ficou conhecido como o Venturoso. Seu sucessor, Dom João III, que reinou de 1521 a 1557, agiu no apogeu e no início do declínio desse império.

Pedro Nunes teve sua vida profissional praticamente acompanhando o reinado desse monarca, seu grande protetor. Sendo filho de judeus, Pedro Nunes somente pode escapar às repetidas investidas contra os cristãos novos, conduzidas pela inquisição, graças a essa proteção. De 1531 a 1535 foi chamado a Évora com a importante responsabilidade de ser tutor na corte de Dom João III. Nessa época escreveu notas para um curso de Álgebra a ser ministrado aos seus alunos, príncipes e fidalgos, dentre os quais João de Castro e Martim Afonso de Sousa.

Pedro Nunes nasceu em 1502, cerca de Lisboa. Em 1525 formou-se em Medicina. Foi nomeado Cosmógrafo Real em 1529 e no mesmo ano assumiu a cátedra de Filosofia Moral da Universidade de Lisboa. Em 1531 foi para Évora como tutor dos príncipes. Em 1544 foi nomeado catedrático de Matemática da Universidade de Coimbra, onde lecionou até sua aposentadoria em 1562. Em 1547 tornou-se Principal Cosmógrafo Real, cargo que manteve até sua morte em 1572.

Na sua permanência em Évora, talvez em função de suas responsabilidades como tutor da corte, Pedro Nunes dedicou-se a estudos humanísticos, tendo composto poemas em Latim e Grego, línguas que parecia dominar muito bem. Após a aposentadoria retomou sua atividade poética. Também se dedicou a reflexões religiosas e deixou notas sobre a ressureição, a anunciação, a multiplicação dos pães e outros temas do Novo Testamento.

Não se conhece toda a importante e variada obra matemática de Pedro Nunes. Aqueles conhecidos foram publicados pela Academia de Ciências de Lisboa por ocasião do quinto centenário do nascimento de Pedro Nunes. A edição foi rapidamente esgotada e uma edição crítica de sua obra completa ainda está por acontecer. Sabe-se de um Tratado de Geometria dos triangulos spheraes, de um Tratado sobre o astrolabio, de um Tratado da proporção ao livro V de Euclides, e de uma tradução do De Architectura, de Vitruvius. São livros possivelmente perdidos.

A edição feita pela Academia de Ciências de Lisboa inclui uma tradução do Tratado da Sphera (1537) e De Crepusculis (1542), que talvez seja a sua contribuição matemática mais original, De Erratis Orontii Finaei (1546), uma obra de contestação, e o Libro de Álgebra en Arithmetica y Geometria (1567).

O livro foi impresso em Antuérpia e escrito em espanhol. Não é de se estranhar, pois na segunda metade do século XVI a Espanha era a grande potência da Europa e Portugal entrava no que seriam dois séculos de decadência. Publicar em espanhol era prestigioso.

O livro é, como diz Pedro Nunes no Prefácio, uma elaboração das lições que êle havia ministrado quando tutor dos príncipes, em Évora, e em seguida como professor da Universidade de Coimbra.

Um fato intrigante é que a obra não foi publicada como uma tradução, embora haja enorme coincidência do seu texto com o livro de al-Kwarizmi, e o nome de al-Kwarizmi aparece sem qualquer destaque. Pedro Nunes diz que "o inventor desta arte foi um matemático mouro, cujo nome era Gebre e há, em algumas livrarias um pequeno tratado em arábico, que contém os capítulos de quem usamos." Seria a álgebra um conhecimento corrente entre os portugueses?

A obra também revela um fato que talvez tenha tido influência no rápido declínio da ciência portuguesa a partir de meados do século XVI. Os portugueses insistiam em utilizar o chamado sistema luso-romano e não adotaram o indo-arábico.

Mas o mais revelador deste livro de Álgebra de Pedro Nunes é o seu Apêndice, no qual ele praticamente se desculpa perante o público ibérico por publicar uma obra que, ao sair, já era obsoleta, pois não incorporava os grandes avanços feitos no estudo das equações de 3^o grau por Tartaglia, Cardano e outros. Isso revela o isolamento dos cientistas portugueses do resto da Europa. Pedro Nunes faz algumas considerações críticas sobre os resultados dos algebristas italianos e promete um novo livro, incorporando todos os avanços recentes dessa ciência. Mas morreu pouco depois e o isolamento, que ele não havia conseguido quebrar, iria marcar a decadência científica de Portugal.

Que matemática encontraram nas novas terras?

Os navegantes que comandavam as expedições tinham um bom nível, geralmente com formação universitária. Lembremos que Martim Afonso de Souza foi aluno de Pedro Nunes. Os registros das viagens são importantes fontes de informação. Obras importantíssimas são as crónicas de Cristóvão Colombo e de Vasco da Gama. Os três documentos que relatam o descobrimento do Brasil foram escritos por Pero Vaz de Caminha, pelo Mestre João Faras e por um piloto anônimo [15].

Todos silenciam sobre o que encontraram nas novas terras que pudesse ser identificado como matemática. Nem mesmo falaram sobre a organização das aldeias. Na verdade, deve-se atribuir isso ao não reconhecimento da especificidade de certas formas de conhecimento que somente muito depois viria a ser identificada como matemática.

O conhecimento numérico dos nativos é limitado, segundo relata Nicolas Barré, em 1556: "Sua linguagem é bastante copiosa em expressões, mas sem números, tanto que quando querem significar cinco, eles mostram os cinco dedos da mão." [16]. Porém uma outra referência sugere contagem de números maiores, associada ao tempo: "Arosca consentiu que seu jovem filho...viesse para a cristandade, porque prometiam ao pai e ao filho traze-lo de volta dentro de 20 luas o mais tardar; pois assim significam eles os meses", conforme o relato de Binot Paulmier de Gonneville, em 1504 [17].

Uma explicação para a ausência de um sistema de numeração reconhecido como tal é dada por Frei Vicente do Salvador (1564?-1636?) na primeira história do Brasil, completada em 1627:

"Pois hei tratado neste capítulo do contato matrimonial deste gentio, tratarei também dos mais contratos, e não serei por isso prolixo ao leitor, porque os livros que hão escrito os doutores de Contractibus sem os poderem de todo resolver, pelos muito que de novo inventa cada dia a cobiça humana, não tocam a este gentio; o qual só usa de uma simples comutação de uma coisa por outra, sem tratarem do excesso ou defeito do valor, e assim com um pintainho se hão por pagos de uma galinha.

Nem jamais usam pesos e medidas, nem têm números por onde contem mais que até cinco, e, se a conta houver de passar daí, a fazem pelos dedos das mãos e pés. O que lhes nasce de sua pouca cobiça; posto que com isso está serem mui apetitosos de qualquer coisa que vêem, mas, tanto que a têm, tornam facilmente de graça ou por pouco mais que nada." [18]

Alguns estudos de etnomatemática procuram enveredar pela história das tradições e permitem fazer algumas suposições sobre a natureza do conhecimento indígena na época da conquista [19]. Por exemplo, resquícios de sistemas de numeração e a riqueza das figuras geométricas que intervém na decoração, são indicadores de uma organização de conhecimentos sobre quantificação, classificação, ordenação e outras categorias que caracterizam o conhecimento matemático.

No século XVI, temos relatos muito ricos sobre as conquistas espanholas. As crônicas da conquista nos dão muita informação sobre a matemática nas civilizações Azteca, Maia e Inca, bem como de outras culturas andinas. Particularmente interessante é o relato de Bernabe Cobo, S.J. (1582?-1657), num capítulo intitulado "Del cómputo del tiempo; de los quipos o memoriales y modo de contar que tenían los índios peruanos." [20]

Curioso notar que Bernabe Cobo, S.J., vê o sistema numérico do Peru associado à contagem do tempo, enquanto Frei Vicente do Salvador tem uma percepção essencialmente mercantilista dos sistemas de numeração.

O que podemos saber hoje dessas culturas vem de estudos da etnomatemática de culturas sobreviventes [21]. Obviamente, as pesquisas nos mostram a cultura atual, resultado de uma dinâmica cultural que praticamente eliminou o conhecimento tradicional, sobretudo no que se refere à matemática.

O grande interesse das populações indígenas tem sido, ao longo da história, a aquisição do conhecimento do dominador. O dominador se identifica no conquistador, no evangelizador, no colonizador, no mercador, no patrão, no agente do governo, no professor. A busca de instrumentos intelectuais que permitem dialogar e eventualmente enfrentar o dominador não se limita à aquisição do seu conhecimento, mas eventualmente se manifesta na absorção do conhecimento do dominador no conhecimento do dominado, transformando-o. Mas o conhecimento do dominado, mesmo transformado, não adquire credibilidade, e continua marginal, criando a exclusão cultural.

A recíproca também se dá, isto é, o conhecimento do dominador também é transformado pelo conhecimento do dominado. Isso se dá nos costumes, na linguagem, nas crenças e nas religiões, e em inúmeras outras manifestações de conhecimento. Alguns elementos do conhecimento do dominado se incorporam ao conhecimento do dominador, enriquecendo-o e sendo aceito. Como evidência dessa dinâmica temos a farmacopéia, a culinária, a linguagem, a música, a própria religião. Mas por que não temos exemplos na matemática? Não se propala que matemática é um empreendimento cultural? A matemática do dominado continua ignorada e não reconhecida, quando não reprimida. A matemática tem sido o elemento mais forte de marginalidade e de exclusão.

A marginalidade e a exclusão não se aplicam somente a nações. O mesmo processo se dá na periferia dos grandes centros urbanos.

Desprover o dominado de seu referencial cultural tem sido, ao longo da história, a estratégia mais eficiente de dominação. O baixo rendimento das populações periféricas nos sistemas escolares, particularmente em matemática, deveria ser analisado sob esse enfoque.

Notas

1. A obra de Damião Peres: História dos Descobrimentos Portugueses, Vertente, Porto, 1943, trata da história das navegações portuguesas, com muita documentação e atenção especial para os pontos controvertidos, tais como a intencionalidade ou o acaso no descobrimento do Brasil.

2. Joaquim Barradas de Carvalho: Esmeraldo de Situ Orbis de Duarte Pacheco Pereira, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1991.

3. Los Diez Libros de Archîtectura de M. Vitruvius Polión. Traducidos del Latin, y comentados por Don Joseph Ortíz y Sanz, Presbítero, En Madrid en la Imprenta Real, año de 1787 (edición facsímil, Editorial Alta Fulla, Barcelona, 1987). Um bom estudo sobre Vitruvius e a matemática romana está no livro de Rubens G. Lintz: História da Matemática Volume 1, Editora da FURB, Blumenau, 1999.

4. Ana Maria Alfonso Goldfarb: Livro do Tesouro de Alexandre, trad. do original árabe de S. Jubran e A.M. Alfonso Goldfarb, Editora Vozes, São Paulo, 1999.

5. Veja Ubiratan D’Ambrosio: Al’Kwarizmi e sua importância na matemática, Temas e Debates, ano VII, n°4, 1994; pp.40-47.

6. Segundo o destacado medievalista Edward Grant: Physical Science in the Middle Ages, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1971, esta foi a mais importante contribuição medieval na história da física e do conhecimento científico em geral.

7. De Álvaro Tomáz sabe-se que publicou em Paris, em 1509, a obra Liber de triplice motu. Sabe-se que lecionou em Portugal e em Paris.

8. Ver Ubiratan D’Ambrosio: America ou Columba e a figura controvertida de Amerigo Vespucci, A Presença Italiana no Brasil vol III, org. Luis A. De Boni, Edições Est/Fondazione Giovanni Agnelli, Porto Alegre/Torino, 1996; pp.15-20.

9. Um livro que mostra os vários desenvolvimentos da álgebra num estilo agradável e ao mesmo tempo rigoroso é Gilbert G. Garbi: O Romance da Equações Algébricas, Makron Books, São Paulo, 1997.

10. Johannes de Sacrobosco: Tratado da Esfera, trad. Pedro Nunes, atualização de Carlos Ziller Camenietzk, Editora UNESP, São Paulo, 1991.

11. Para um importante estudo da grande influência dessa vocação marítima no desenvolvimento das ciências, em particular da matemática, em Portugal, vejo o estudo de Francisco Gomes Teixeira em http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/livrogt/1parte.html#Inicio da Cultura.

12. Regiomontanus, ou Johannes Müller (1436-1476) é considerado o criador da trigonometria moderna.

13. Ao retornar a Nüremberg, em 1492, Behaím apresentou à comunidade a Erdapfel, o primeiro globo terrestre conhecido. Obviamente, nesse globo não aparece o novo continente.

14. Um importante estudo sobre Pedro Nunes foi feito por John R.C. Martyn: Pedro Nunes (1502-1578). His Lost Algebra and Other Discoveries, Peter Lang Publishing, Inc., New York, 1996.

15. Ver Paulo Roberto Pereira: Os Três Únicos Testemunhos do Descobrimento do Brasil, Lacerda Editora, Rio de Janeiro, 1999.

16. Darcy Ribeiro e Carlos de Araujo Moreira Neto: A Fundação do Brasil: testemunhos, 1500-1700, Editora Vozes, Petrópolis, 1992; p.81.

17. ibidem, p.110.

18. Frei Vicente do Salvador: História do Brasil 1500-1627, Revista por Capistrano de Abreu, Rodolfo Garcia e Frei Venâncio Willeke, OFM, Edições Melhoramentos, São Paulo, 1965; pp. 89-90.

19. Destaco o livro de Mariana Kawall Leal Ferreira: Madikauku. Os dez dedos das mãos. Matemática e povos indígenas no Brasil. MEC/SEF, Brasília, 1998. Ver também as dissertações de Samuel Lopez Bello: Educação Matemática Indígena - Um Estudo Etnomatemático dos Indios Guarani-Kaiová do Mato Grosso do Sul. Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 1995, e de Chateaubriand Nunes Amancio: Os Kanhgág da Bacia do Tibagi: Um Estudo Etnomatemático em Comunidades Indígenas. IGCEx/UNESP, Rio Claro, 1999.

20. Biblioteca de Autores Españoles, Tomo XCII, Obras del P. Bernabe Cobo II, Atlas, Madrid, 1964; p.141.

21. Talvez a referência mais abrangente seja Michael Closs, ed.: Native Americans Mathematics, University of Texas Press, Austin, 1986.